莱布尼兹公式

(u±v)(n)=u(n)±v(v) (u \pm v)^{(n)} = u^{(n)} \pm v^{(v)}

(uv)(n) (uv)^{(n)}
=Cn0u(n)v(0)+Cn1u(n1)v(1)+Cn2u(n2)v(2)++Cnnu(0)n(n)= C_n^0u^{(n)}v^{(0)} + C_n^1u^{(n-1)}v^{(1)} + C_n^2u^{(n-2)}v^{(2)} + … + C_n^nu^{(0)}n^{(n)} //比较规矩的形式
=Cn0u(n)v+Cn1u(n1)v+Cn2u(n2)v++Cnnun(n)= C_n^0u^{(n)}v + C_n^1u^{(n-1)}v' + C_n^2u^{(n-2)}v'' + … + C_n^nun^{(n)} //常见的形式

其中:
Cn0=1C_n^0 = 1
Cn1=nC_n^1 = n
Cn2=n(n1)2C_n^2 = \frac{n \cdot (n-1)}{2}
Cnn=1C_n^n = 1

常用以下公式辅助:

(ax)(n)=ax(lna)n (a^x)^{(n)} = a^x(lna)^n , (ex)(n)=ex (e^x)^{(n)} = e^x

(sinkx)(n)=knsin(kx+π2n) (sinkx)^{(n)} = k^nsin(kx+\frac{\pi}{2} \cdot n)

(coskx)(n)=kncos(kx+π2n) (coskx)^{(n)} = k^ncos(kx+\frac{\pi}{2} \cdot n)

(lnx)(n)=(1)n1(n1)!xn (lnx)^{(n)} = (-1)^{n-1} \cdot \frac{(n-1)!}{x^n} , x>0

[ln(x+1)](n)=(1)n1(n1)!(x+1)n [ln(x+1)]^{(n)} = (-1)^{n-1} \cdot \frac{(n-1)!}{(x+1)^n} , x>-1

(1x+a)(n)=(1)nn!(x+a)n+1 (\frac{1}{x+a})^{(n)} = (-1)^n \cdot \frac{n!}{(x+a)^{n+1}}

注意:

  1. n阶导,要在右上角使用括号将其括起来表示:
文档更新时间: 2018-12-17 23:06   作者:数学公式