分类计数原理:

做一件事,完成它有n类不同的办法。
第一类办法中有m1m_1种方法,第二类办法中有m2m_2种方法……,第nn类办法中有mnm_n种方法,则完成这件事共有:N=m1+m2+...+mnN=m_1+m_2+. . .+m_n种方法。

分步骤计数原理:

做一件事,完成它需要分成nn个步骤。
第一步中有m1m_1种方法,第二步中有m2m_2种方法……,第nn步中有mnm_n种方法,则完成这件事共有:N=m1m2...mnN=m_1 \cdot m_2 \cdot . . . \cdot m_n种方法。

注:
处理实际问题时,要善于区分是用分类计数原理还是分步计数原理,这两个原理的标志是“分类”还是“分步骤”。

排列:

从n个不同的元素中取m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一排,叫做从n个不同的元素中取m个元素的排列。

排列数:

从n个不同的元素中取m(m≤n)个元素的所有排列的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,记为PnmP_n^m

选排列数:

Pnm=n(n1)(n2)...(nm+1)P_n^m = n(n-1)(n-2). . . (n-m+1)

注:
常用于数值计算。

Pnm=n!(nm)!P_n^m = \frac{n!}{(n-m)!}

注:
常用于字母计算和证明。

全排列数:

Pnm=n!P_n^m = n!

规定:
0!=10! = 1

组合:

从n个不同的元素中,任取m(m≤n)个元素并成一组,叫做从n个不同的元素中取m个元素的组合。

组合数:

从n个不同的元素中取m(m≤n)个元素的所有组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数,记为CnmC_n^m

Cnm=Pnmm!C_n^m = \frac{{P_n^m}}{m!}

注:
常用于数值计算。

Cnm=n!m!(nm)!C_n^m = \frac{n!}{m!(n-m)!}

注:
常用于字母计算和证明。

重要性质:

规定:
Cn0=1C_n^0 = 1

Cnm=Cnnm C_n^m = C_n^{n-m}

Cn+1m=Cnm+Cnm1 C_{n+1}^m = C_n^m + C_n^{m-1}

二项式定理:

(a+b)n=Cn0an+Cn1an1b+Cn2an2b+...+Cnranrbr+...+CnnbnnR(a+b)^n = C_n^0 a^n + C_n^1a^{n-1}b +C_n^2a^{n-2}b + . . . + C_n^ra^{n-r}b^r + . . . + C_n^nb^n \quad n \in R
此公式所表示的定理叫 二项式定理

Cn0an+Cn1an1b+...+Cnnbn C_n^0a^n + C_n^1a^{n-1} b + . . . + C_n^nb^n 叫做(a+b)n(a+b)^n的二项展开式

Cn0,Cn1,...,Cnn C_n^0, C_n^1, . . . ,C_n^n 叫做二项式系数

通项公式:

Tr+1=Cnranrbr(r=0,1,2...n)T_{r+1} = C_n^ra^{n-r}b^r \quad (r=0,1,2 . . . n)
项数: n+1相
指数: 各项中的a的指数由n起依次减少1,直至0为止;b的指出从0起依次增加1,直至n为止。而每项中a与b的指数之和均等于n 。
二项式系数:
二项式的系数具有对称性,与两端等离的两项的二项式系数相等。

二项展开式的性质:

Cnm=nmCn1m1 C_n^m = \frac{n}{m}\cdot C_{n-1}^{m-1}

Cnm=m+1n+1Cn+1m+1 C_n^m = \frac{m+1}{n+1}\cdot C_{n+1}^{m+1}

nn 为偶数时,则中间一项的系数最大;
nn 为奇数时,则中间两项的系数最大;

所有二项式系数之和为2n2^n,即:Cn0+Cn1+...+Cnn=2nC_n^0 + C_n^1 + . . . + C_n^n = 2^n

各奇数项的二项式数之和等于各偶数项的二项式的系数之和

即:Cn0+Cn2+Cn4+...=Cn1+Cn3+Cn5+...=2n C_n^0 + C_n^2 + C_n^4 + . . . = C_n^1 + C_n^3 + C_n^5 + . . . = 2^n