分类计数原理:
做一件事,完成它有n类不同的办法。
第一类办法中有m1种方法,第二类办法中有m2种方法……,第n类办法中有mn种方法,则完成这件事共有:N=m1+m2+...+mn种方法。
分步骤计数原理:
做一件事,完成它需要分成n个步骤。
第一步中有m1种方法,第二步中有m2种方法……,第n步中有mn种方法,则完成这件事共有:N=m1⋅m2⋅...⋅mn种方法。
注:
处理实际问题时,要善于区分是用分类计数原理还是分步计数原理,这两个原理的标志是“分类”还是“分步骤”。
排列:
从n个不同的元素中取m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一排,叫做从n个不同的元素中取m个元素的排列。
排列数:
从n个不同的元素中取m(m≤n)个元素的所有排列的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,记为Pnm
选排列数:
Pnm=n(n−1)(n−2)...(n−m+1)
注:
常用于数值计算。
Pnm=(n−m)!n!
注:
常用于字母计算和证明。
全排列数:
Pnm=n!
规定:
0!=1
组合:
从n个不同的元素中,任取m(m≤n)个元素并成一组,叫做从n个不同的元素中取m个元素的组合。
组合数:
从n个不同的元素中取m(m≤n)个元素的所有组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数,记为Cnm
Cnm=m!Pnm
注:
常用于数值计算。
Cnm=m!(n−m)!n!
注:
常用于字母计算和证明。
重要性质:
规定:
Cn0=1
Cnm=Cnn−m
Cn+1m=Cnm+Cnm−1
二项式定理:
(a+b)n=Cn0an+Cn1an−1b+Cn2an−2b+...+Cnran−rbr+...+Cnnbnn∈R
此公式所表示的定理叫 二项式定理
Cn0an+Cn1an−1b+...+Cnnbn 叫做(a+b)n的二项展开式
Cn0,Cn1,...,Cnn 叫做二项式系数
通项公式:
Tr+1=Cnran−rbr(r=0,1,2...n)
项数: n+1相
指数: 各项中的a的指数由n起依次减少1,直至0为止;b的指出从0起依次增加1,直至n为止。而每项中a与b的指数之和均等于n 。
二项式系数:
二项式的系数具有对称性,与两端等离的两项的二项式系数相等。
二项展开式的性质:
Cnm=mn⋅Cn−1m−1
Cnm=n+1m+1⋅Cn+1m+1
当 n 为偶数时,则中间一项的系数最大;
当 n 为奇数时,则中间两项的系数最大;
所有二项式系数之和为2n,即:Cn0+Cn1+...+Cnn=2n
各奇数项的二项式数之和等于各偶数项的二项式的系数之和
即:Cn0+Cn2+Cn4+...=Cn1+Cn3+Cn5+...=2n