排列
由于 中任意两个向量的位置发生变化后要变号,因此其符号与向量的排序有关,因此在此提出排列的概念。
排列:把从1到N的n个自然数 ,按任意顺序排成一行。
例如:
将1到5排列成 。
标准排列:从小到大排列。
例如:
()
逆序:如果排列中有两个数 ,且,那么这个排列就算一个逆序。
注:
白话:从大到小数的所有组合数。
例如:
中有1个逆序:
中有2个逆序:、
中有3个逆序:、、
将来程序中可能会用到的算法:
一个排序中有几个逆序,其实就是计算机算法中的“冒泡法”恢复标准排列的步骤数。
例如:排列中共有5个逆序,而通过“冒泡法”恢复标准排列的步骤数也是5步。
逆序数():一个排列中的逆序的个数。记作。
技巧:
要数一个排列中的逆序数的方法:(下面2个方法选择1个即可)
方法1:只需从左到右,数每一个数字右边比其小的数字的个数,然后汇总即可。
方法2:反过来,从右向左数每一个数字左边比其小的数字的个数也是一样的。
例如:
即:
6的右边比6小的数字有5个,
3的右边比3小的数字有2个,
5的右边比5小的数字有3个,
4的右边比4小的数字有2个,
1的右边比1小的数字有0个。
奇排列:逆序数()为奇数的排列。
偶排列:逆序数()为偶数的排列。
注:
排列的奇偶性:指 奇排列、偶排列。
对换:将一个排列中的两个数对调位置,其他数的位置不变,称为一次对换。
注:
这两个数可能相邻,也可能不相邻。
对换对奇偶性的改变:任意一个排列每经过一次对换,则该排列的奇偶性就会发生一次改变。
说明:
(1) 相邻两个数对换,逆序的个数显然要增加1个或减少1个,排列的奇偶性发生1次改变。
例如:中交换位置,那么逆序增加一个;
(2) 不相邻的两个数对换转化为多次相邻对换。
假设:
这两个数分别为,并且设它们之间相隔k个数,那么可以让和右边相邻的数依次对换位置,直到与相邻,这个过程中共发生了k次对换。
然后再让和左边相邻的数依次对换位置,直到进入原来的位置,这个过程中将发生k+1次对换。
整个过程共计2k+1次相邻对换,排列的奇偶性必然发生改变。
对换次数的奇偶性:
(1) 任意一个排列都可以经过有限次对换变成标准排列。
(2) 一个排列变成标准排列经历的对换次数可能不唯一,但的奇偶性是相同的,并且与排列的奇偶性相同。
说明:
(1) 数学归纳法。
n=1时,显然。
假设已经验证命题对于已知的n元排列成立。
那么,对于n+1元排列 ,如果,那么前面必有一个元素。将它们俩对换后就能得到新的排列,而新排列的前n元是可以通过有限次对换到标准排列的。总的次数依然是有限次。
(2) 不唯一:要将排列变为标准排列,将4和1对换,,也可以依次将4、2,4、3,4、1对换,得到 ,在此基础上再将1、3,1、2依次兑换, 。
奇偶性:
(1) 标准排列的逆序数为0,是偶排列;
(2) 定理3.1.1:每一次对换都会改变排列的奇偶性。所以,如果一个排列是偶排列,那么它变成标准排列必须经过偶数次对换;反之,如果它是奇排列,那么它变成标准排列必须经过奇数次对换。
因此有:
(1)
(2) 。
行列式
A矩阵的行列式(determinant),用符号 det(A) 表示。
determinant
美[dɪˈtɜrmɪnənt]
n: 决定因素;决定条件
adj: 决定性的
网络: 行列式;决定性因素;行列式值
定义
一个排列中的任意两个元素对换,排列的奇偶性会改变。
举例:
一个排列: