概念：

在平面内具有大小和方向的量叫做和向量

运算性质：

a⃗+b⃗=b⃗+a⃗ \vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}

(a⃗+b⃗)+c⃗=a⃗+(b⃗+c⃗) (\vec{a} + \vec{b})+\vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})

a⃗+0⃗=0⃗+a⃗=a⃗ \vec{a} + \vec{0} = \vec{0} + \vec{a} = \vec{a}

实数与向量的积：

定义： λa⃗\lambda \vec{a}

当 λ>0\lambda > 0 时，λa⃗\lambda \vec{a}与a⃗\vec{a}同向，∣λa⃗∣=∣λ∣∣a⃗∣ |\lambda \vec{a}| = |\lambda||\vec{a}|

当 λ<0\lambda < 0 时，λa⃗\lambda \vec{a}与a⃗\vec{a}反向，∣λa⃗∣=∣λ∣∣a⃗∣ |\lambda \vec{a}| = |\lambda||\vec{a}|

运算律：

λ(μa⃗)=(λμ)a⃗ \lambda(\mu \vec{a}) = (\lambda \mu)\vec{a}

(λ+μ)a⃗=λa⃗+μa⃗ (\lambda + \mu)\vec{a} = \lambda \vec{a} + \mu \vec{a}

λ(a⃗+b⃗)=λa⃗+λb⃗ \lambda (\vec{a} + \vec{b}) = \lambda \vec{a} + \lambda \vec{b}

a⃗⋅b⃗=b⃗⋅a⃗ \vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}

(λa⃗)⋅b⃗=a⃗⋅(λb⃗)=λ(a⃗⋅b⃗) (\lambda \vec{a})\cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot (\lambda \vec{b}) = \lambda (\vec{a} \cdot \vec{b})

(a⃗+b⃗)⋅c⃗=a⃗⋅b⃗+b⃗⋅c⃗ (\vec{a}+ \vec{b})\cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c}

平面向量基本定量：

如果e1⃗\vec{e_1}和e2⃗\vec{e_2}是同一平面的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1,λ2\lambda_1, \lambda_2,使a⃗=λ1e1⃗+λ2e2⃗\vec{a} = \lambda_1 \vec{e_1} + \lambda_2 \vec{e_2}

向量平行：

两向量平行的充要条件: a⃗//b⃗⇔a⃗=λb⃗\vec{a} // \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a}=\lambda \vec{b}

设 a⃗=(x1,y1),b⃗=(x2,y2) \vec{a}=(x_1,y_1), \vec{b}=(x_2,y_2),则 a⃗//b⃗⇔x1y2−x2y1=0 \vec{a} // \vec{b} \Leftrightarrow x_1y_2 - x_2y_1 = 0

向量垂直：

两向量平行的充要条件： a⃗⊥b⃗⇔a⃗⋅b⃗=0 \vec{a} \bot \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = 0

设 a⃗=(x1,y1),b⃗=(x2,y2) \vec{a}=(x_1,y_1), \vec{b}=(x_2,y_2),则 a⃗⊥b⃗⇔x1y2+x2y1=0 \vec{a} \bot \vec{b} \Leftrightarrow x_1y_2 + x_2y_1 = 0

定比分点公式：

设P(x,y),P1(x1,y1),P2(x2,y2)P(x,y), P_1(x_1,y_1), P_2(x_2,y_2),且P1(⃗P)=λPP2⃗P_1 \vec(P) = \lambda P \vec{P_2},则：

x=x1+λx21+λx = \frac{x_1+\lambda x_2}{1+\lambda}

y=y1+λy21+λy = \frac{y_1+\lambda y_2}{1+\lambda}