定义:

平面内到两个定点F1,F2F_1,F_2的距离之差的绝对值是常数(大于F1F2|F_1F_2|)的点的轨迹叫做双曲线

这两个定点叫做焦点

两定点间的距离叫做焦距

标准方程:

方程形式1:

x2a2y2b2=1(a>b>0)\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \quad (a>b>0)

双曲线 - 图1

焦点:

F1(c,0),F2(c,0)F_1(-c,0), F_2(c,0)

方程形式2:

y2a2x2b2=1(a>b>0)\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1 \quad (a>b>0)

双曲线 - 图2

焦点:

F1(0,c),F2(0,c)F_1(0, -c), F_2(0, c)

焦距:

F1F2=2c|F_1F_2| = 2c

c=a2+b2c=\sqrt{a^2 + b^2}

几何性质:

范围:

xa |x| \ge a
所以双曲线在两条直线x=a=ax=a=-a的外例

对称性:

坐标轴是双曲线的对称轴
原点是双曲线的对称中心
双曲线的对称中心叫做双曲线的中心

顶点:

A1(a,0),A2(a,0)A_1(-a,0), A_2(a,0) 叫做双曲线的顶点

A1A2A_1A_2 叫实轴

B1B2B_1B_2 叫虚轴

渐近线:

y=±baxy = \pm \frac{b}{a}x 叫做双曲线的渐近线

a=ba=b的双曲线叫做等轴双曲线

离心率:

e=ca(0<e<1) e=\frac{c}{a} (0<e<1) 叫做双曲线离心率 (e > 1)

ee越大,双曲线的开口越开阔。