三角函数诱导公式

下面属于π/2的偶数倍:

公式一:设α为任意角,终边相同的角的同三角函数的值相等:

sin(2kπ+α)=sinα,kzsin(2kpi+alpha)=sinalpha , kin z

cos(2kπ+α)=cosα,kzcos(2kpi+α)=cosα, kin z

tan(2kπ+α)=tanα,kztan(2kpi+α)=tanα, kin z

cot(2kπ+α)=cotα,kzcot(2kpi+α)=cotα, kin z

简记:

  1. 第1象限全正;
  2. 偶不变;
公式二:设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系:

sin(π+α)=sinα sin(pi +alpha) = -sinalpha

cos(π+α)=cosα cos(pi +α) = -cosα

tan(π+α)=tanαtan(pi +α) = tanα

cot(π+α)=cotαcot(pi +α) = cotα

简记:

  1. 第3象限只有正切、余切为正,其它均为负;
  2. 偶不变;
公式三:任意角α与-α的三角函数值之间的关系:

sin(α)=sinαsin(-α)= -sinα

cos(α)=cosαcos(-α)=cosα

tan(α)=tanαtan(-α)=-tanα

cot(α)=cotαcot(-α)=-cotα

简记:

  1. 第4象限只有余弦为正,其它均为负;
  2. 偶不变;
公式四:利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系:

sin(πα)=sinαsin(π-α)=sinα

cos(πα)=cosαcos(π-α)=-cosα

tan(πα)=tanαtan(π-α)=-tanα

cot(πα)=cotαcot(π-α)=-cotα

简记:

  1. 第2象限只有正弦为正,其它均为负;
  2. 偶不变;
公式五:利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系:

sin(2πα)=sinαsin(2π-α)=-sinα

cos(2πα)=cosαcos(2π-α)=cosα

tan(2πα)=tanαtan(2π-α)=-tanα

cot(2πα)=cotαcot(2π-α)=-cotα

简记:

  1. 第4象限只有余弦为正,其它均为负;
  2. 偶不变;

下面属于π/2的奇数倍:

公式六: π/2±α与α的三角函数值之间的关系:

sin(π2+α)=cosαsin(frac{pi}{2}+α)=cosα

cos(π2+α)=sinαcos(frac{pi}{2}+α)=-sinα

tan(π2+α)=cotαtan(frac{pi}{2}+α)=-cotα

cot(π2+α)=tanαcot(frac{pi}{2}+α)=-tanα

简记:

  1. 第2象限只有正弦为正,其它均为负;
  2. 奇变

sin(π2α)=cosαsin(frac{pi}{2}-α)=cosα

cos(π2α)=sinαcos(frac{pi}{2}-α)=sinα

tan(π2α)=cotαtan(frac{pi}{2}-α)=cotα

cot(π2α)=tanαcot(frac{pi}{2}-α)=tanα

简记:

  1. 第1象限全为正;
  2. 奇变

奇变偶不变,符号看象限:

奇、偶:指π2frac{pi}{2}的倍数的奇(π2frac{pi}{2}的奇数倍)偶(π2frac{pi}{2}的偶数倍);
变与不变:指三角函数的名称的变化:“变”是指正弦变余弦,正切变余切(反之亦成立);
符号看象限:统一把α看做锐角,然后看 nπ2±αn cdot frac{pi}{2} pm α 落在第几象限,最后根据原函数的规则(一全正;二正弦;三正余切;四余弦)给出正负号;

“符号看象限”的判断口诀:

第一象限(全正):正弦是正的,余弦是正的,正余切是正的
第二象限(正弦):正弦是正的,余弦是负的,正余切是负的
第三象限(正余切):正弦是负的,余弦是负的,正余切是正的
第四象限(余弦):正弦是负的,余弦是正的,正余切是负的
简单概括为:一全正;二正弦;三正余切;四余弦

这十二字口诀的意思就是说
第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“+”;
第二象限内只有正弦是“+”,其余全部是“-”;
第三象限内只有正切和余切是“+”,其余全部是“-”;
第四象限内只有余弦是“+”,其余全部是“-”;