函数及其性质 ★

三位数学家

1. 函数及其性质是高等数学整个基础知识的核心问题；
2. 上图中的“爷、爸、儿子”仅为帮助大家方便记忆起的称呼哟，可不是真正的祖孙三代 ^_^;

注：
三个人物的时间关系：Leibniz 1646(记住这个年份，就可以推出旁边两位的时间)出生的前4年是牛顿，牛顿1726去世之后的100年是黎曼；

人物简介：

莱布尼茨(Gottfried Wilhelm Leibniz； 高教出版社通常翻译为莱布尼茨cí，但是大家还是喜欢翻译为：莱布尼兹zī 因为Leibniz的最后一个音z的缘故。) 是函数$f(x)$ 提出者的代表;

[老师$\to$学生 之间的关系]：
莱布尼茨 $\to$ 约翰·伯努利 $\to$ 洛必达(买来的 二流子) 、欧拉 $\to$ 拉格朗日 $\to$ 柯西；

牛顿(Isaac Newton)是莱布尼茨的老对头，他提出了$f'(x)$导数(即对函数$f(x)$求导)的概念;

[老师$\to$学生 之间的关系]：
牛顿 $\to$ 泰勒+麦克劳林；

注： 牛顿和莱布尼茨刚开始是好朋友，好到穿一条裤子，年轻时互通有无，功成名就之时彻底翻脸，老死不相往来；

黎曼(Georg Friedrich Bernhard Riemann.德国人,19世纪无人能够企及的数学分析大师)提出了$\int_0^xf(t)dt$积分的概念;

微积分：

微积分不仅研究$f(x)$函数本身，还研究它的$f'(x)$导数（叫 微分），还要研究它的积分（叫 积分学）。为了方便记忆，我们把$\int_0^xf(t)dt, f(x), f'(x)$这三个都叫做“祖孙三代”；

通过具体例子来理解上面抽象的“祖孙三代”：

我们假设$y=f(x)=sinx$,那么对其求导就是$cosx$,对其积分就是$1-cosx$

为了方便区分,我们再对sinx积分时将其中的x换为t:
$\int_0^xsintdt = -cost|_0^x = -(cosx - cos0)=-(cosx-1)=1-cosx$

“祖孙三代”的图像如下：

上图的解释：

1. y=1-cosx的画法,可以先将y=cosx的图像的y值取反,然后再向上平移1个单位;
2. 图像从上往下看，下面函数是上面函数求导所得；
   图像从下往上看，上面函数是下面函数积分所得；
3. 奇函数必过原点(0,0)，且关于原点(0,0)对称；
   偶函数关于y轴对称；

小结：

1. 191003 ★
   求导或积分之后，奇偶性互换（即：导一次，奇偶性换一次；导一次，奇偶性换一次），周期性不变（即：如果原函数是周期性函数，那么求导之后，还是周期性函数且周期性不变）；
2. ★
   祖孙三代函数及其性质;

总结 ★

1. 前提：奇偶函数的定义域必须关于原点对称；

2. 奇偶函数的基本类型如下所示：（7个小点）

I. $f(x)+f(-x) \in$ 偶函数

E.g 1)$y=\frac{e^x+e^{-x}}{2} \in$偶函数，图像如下： //悬链线(女孩戴的项链)、 双曲余弦； 伯努利研究出来的哟；

2) $y=\sqrt[3]{(1+x)^2}+\sqrt[3]{(1-x)^2} \in$偶函数，图像如下(该图像的正确性有待考证)：

II. $f(x)-f(-x) \in$ 奇函数

E.g 1)$y=\frac{e^x-e^{-x}}{2} \in$奇函数，图像如下： //双曲正弦

2)$y=ln\frac{1+x}{1-x} \in$奇函数，图像如下(该图像的正确性有待考证)：

III. $f[\varphi (x)]$复合函数的奇偶性情况:

奇[偶] $\Rightarrow$ 偶

内偶外奇必为偶;
E.g $y=sinx^2$,内层函数$u=x^2$是偶函数,外层函数$y=sinu$是奇函数,那么复合之后就是偶函数;

偶[奇] $\Rightarrow$ 偶

内奇外偶必为偶
E.g $y=cos(sinx)$,内层函数$u=sinx$是奇函数,外层函数$y=cosu$是偶函数,那么复合之后就是偶函数;
$y=|sinx|$,内层函数$u=sinx$是奇函数,外层函数$y=|u|$是偶函数,那么复合之后就是偶函数;

奇[奇] $\Rightarrow$ 奇

内奇外奇必为奇
E.g $y=sin\frac{1}{x}$,内层函数$u=\frac{1}{x}$是奇函数,外层函数$y=sinu$是奇函数,那么复合之后就是奇函数;
$y=\sqrt[3]{tanx}$,内层函数$u=tanx$是奇函数,外层函数$y=\sqrt[3]{u}$是奇函数,那么复合之后就是奇函数;

偶[偶] $\Rightarrow$ 偶

内偶外偶必为偶
E.g $y=cos|x|$,内层函数$u=|x|$是偶函数,外层函数$y=cosu$是偶函数,那么复合之后就是偶函数;
$y=|cosx|$,内层函数$u=cosx$是偶函数,外层函数$y=|u|$是偶函数,那么复合之后就是偶函数;

非[偶] $\Rightarrow$ 偶

内偶外非必为偶
E.g $y=e^{x^2}$,内层函数$u=x^2$是偶函数,外层函数$y=e^u$既不是奇函数也不是偶函数,那么复合之后是偶函数;
$y=ln|x|$,内层函数$u=|x|$是偶函数,外层函数$y=lnu$既不是奇函数也不是偶函数,那么复合之后是偶函数;

III的记忆：
从上面可以知道，只要内外有一个有偶，则最终肯定为偶函数；

IV. 一个特殊的函数: $ln(x+\sqrt{x^2+1}) \in$ 奇函数,它的函数图像如下： //反双曲正弦（因为它的图形正好和上面的双曲正弦看着和y=x对称^^）

注:
因为 $x+\sqrt{x^2+1}$ 忽略其中的1之后，即：$x+\sqrt{x^2} \thickapprox x+|x|$，
而 $x+|x| \geqslant 0$ //即：任何一个数 加 自己的绝对值 都是 非负的，
所以 $ln(x+\sqrt{x^2+1})$ 的 $x+\sqrt{x^2+1} \geqslant 0$，
即 x可以是任何数啦，即：$x\in(-\infty,+\infty)$;

V. 求导之后，奇偶性互换； //即前面的小结部分

$f(x)$奇 $\Rightarrow f'(x)$ 偶 $\Rightarrow f''(x)$ 奇 $\Rightarrow$ …
$f(x)$偶 $\Rightarrow f'(x)$ 奇 $\Rightarrow f''(x)$ 偶 $\Rightarrow$ …

VI. 积分之后，奇偶性互换； //即前面的小结部分

注意：积分是0下限;
$f(x)$ 奇 $\Rightarrow \int_0^xf(t)dt$ 偶
$f(x)$ 偶 $\Rightarrow \int_0^xf(t)dt$ 奇

VII. ★ $f(x)$连续, $\forall x,y$
$f(x+y)=f(x)+f(y) \Rightarrow f(x) \in$奇函数

E.g
取y=0 $f(x)=f(x)+f(0) \Rightarrow f(0)=0$
取y=-x $f(0)=f(x)+f(-x) \Rightarrow f(x)=-f(-x)$

3. 变体类型 //平移

I. $f(x)$ 偶函数 $\Rightarrow$ 关于y轴($x=0$)对称： $f(0+x)=f(0-x)$

II. $f(x)$ 奇函数 $\Rightarrow$ 关于原点$(0,0)$对称：

技巧：
记住结论，使用结论！！！

来源: 宇哥的微博
https://weibo.com/tv/v/H92Eu4WXn
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