二项展开式:

(a+b)n=Cn0an+Cn1an1b++Cnnbn(a+b)^n = C_n^0a^n+C_n^1a^{n-1}b+…+C_n^nb^n

此消彼长;

二项展开式系数和三角形的关系如下所示:

扩展:

(ab)=a+2ab+b (a\cdot b)'' = a''+2a'b'+b'' //系数:1 2 1

记:看到系数1 2 1,就应该想到莱布尼茨高阶求导公式,令辅助函数F(x)=f(x)g(x)F(x)=f(x)g(x);


Note: 杨辉三角形,是二项式系数在三角形中的一种几何排列,中国南宋数学家杨辉12611261年所著的《详解九章算法》一书中出现。在欧洲,帕斯卡162316621623 \sim 166216541654年发现这一规律,所以这个表又叫做帕斯卡三角形。帕斯卡的发现比杨辉要迟393393年,比贾宪迟600600年。
Yang Hui’s Triangle was the same as Pascal’s Triangle