要解微分方程 y′=1(x+y)2 y' = \frac{1}{(x + y)^2} 满足初始条件 y(1)=0 y(1) = 0 ，我们可以按照以下步骤进行：

  1. 变量替换：
    令 u=x+y u = x + y ，则 y=u−x y = u - x 。对 x x 求导得到：
    x=bx = \sqrt{b}

    y′=u′−1y' = u' - 1

    将其代入原方程：

    u′−1=1u2u' - 1 = \frac{1}{u^2}

    整理得到：

    u′=1+1u2u' = 1 + \frac{1}{u^2}

  2. 分离变量：
    将方程改写为：

    dudx=1+1u2\frac{du}{dx} = 1 + \frac{1}{u^2}

    分离变量后：

    u2u2+1du=dx\frac{u^2}{u^2 + 1} du = dx

  3. 积分：
    对两边进行积分：

    ∫u2u2+1du=∫dx\int \frac{u^2}{u^2 + 1} du = \int dx

    左边积分可以拆分为：

    ∫(1−1u2+1)du=u−arctan(u)\int \left(1 - \frac{1}{u^2 + 1}\right) du = u - \arctan(u)

    因此，积分结果为：

    u−arctan(u)=x+Cu - \arctan(u) = x + C

    其中 C C 是积分常数。

  4. 回代并应用初始条件：
    回代 u=x+y u = x + y ：

    x+y−arctan(x+y)=x+Cx + y - \arctan(x + y) = x + C

    简化得到：

    y−arctan(x+y)=Cy - \arctan(x + y) = C

    应用初始条件 y(1)=0 y(1) = 0 ：

    0−arctan(1+0)=C⇒C=−arctan(1)=−π40 - \arctan(1 + 0) = C \Rightarrow C = -\arctan(1) = -\frac{\pi}{4}

    因此，解为：

    y−arctan(x+y)=−π4y - \arctan(x + y) = -\frac{\pi}{4}

最终的解为：

y−arctan(x+y)=−π4y - \arctan(x + y) = -\frac{\pi}{4}

状态: 待完善