[注]：
泰勒公式才是以后解题的主流方法，洛必达(买来的)是辅助的;

八个泰勒展开公式熟稔于心：

x→0 x \to 0 时：

1.  sinx=x−13!x3+o(x3)=x−16x3+o(x3) sinx = x-\frac{1}{3!}x^3+o(x^3) = x-\frac{1}{6}x^3+o(x^3)

2.  arcsinx=x+13!x3+o(x3)=x+16x3+o(x3) arcsinx = x+\frac{1}{3!}x^3+o(x^3) = x+\frac{1}{6}x^3+o(x^3)

3.  tanx=x+13x3+o(x3) tanx = x+\frac{1}{3}x^3+o(x^3)

4.  arctanx=x−13x3+o(x3) arctanx = x-\frac{1}{3}x^3+o(x^3)

5.  cosx=1−12!x2+14!x4+o(x4)=1−12x2+124x4+o(x4) cosx = 1-\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{4!}x^4+o(x^4) = 1-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{24}x^4+o(x^4)

6.  ex=1+x+12!x2+13!x3+o(x3) e^x = 1+x+\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{3!}x^3+o(x^3)

7.  ln(1+x)=x−12x2+13x3−14x4+o(x4) ln(1+x) = x-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{4}x^4+o(x^4)

8.  (1+x)α=1+αx+α(α−1)2x2+o(x2) (1+x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha (\alpha - 1)}{2}x^2 + o(x^2)

再补充两个：

11−x=1+x+x2+x3+o(x3)   (∣x∣<1) \frac{1}{1-x} = 1+x+x^2+x^3+o(x^3) \space\space\space (|x|<1)

11+x=1−x+x2−x3+o(x3)   (∣x∣<1) \frac{1}{1+x} = 1-x+x^2-x^3+o(x^3) \space\space\space (|x|<1)

记忆技巧:

1、需要阶乘的： sinx,cosx,exsinx, cosx, e^x；

小结：因为上面的sinxsinx和cosxcosx直接把阶乘给运算了,所以只记exe^x带阶乘即可；

2、记住sinxsinx的，然后直接对sinxsinx求导即可得到conxconx的展开式；

3、ln(1+x)ln(1+x)：x开头，正负相间；

4、exe^x：e与1同音，所以记为1开头，全为正，需阶乘；

5、记住11−x\frac{1}{1-x}全正，然后将−x-x带入即得11+x\frac{1}{1+x}的展开式；

笔记：

1、主部：上面9个泰勒展开式的头1个人就叫做主部，也是等价替换的人;

2、泰勒 (Taylor 音标：英[ˈteɪlə])