分类计数原理：

做一件事，完成它有n类不同的办法。
第一类办法中有$m_1$种方法，第二类办法中有$m_2$种方法……，第$n$类办法中有$m_n$种方法，则完成这件事共有：$N=m_1+m_2+. . .+m_n$种方法。

分步骤计数原理：

做一件事，完成它需要分成$n$个步骤。
第一步中有$m_1$种方法，第二步中有$m_2$种方法……，第$n$步中有$m_n$种方法，则完成这件事共有：$N=m_1 \cdot m_2 \cdot . . . \cdot m_n$种方法。

注：
处理实际问题时，要善于区分是用分类计数原理还是分步计数原理，这两个原理的标志是“分类”还是“分步骤”。

排列：

从n个不同的元素中取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一排，叫做从n个不同的元素中取m个元素的排列。

排列数：

从n个不同的元素中取m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记为$P_n^m$

选排列数:

$P_n^m = n(n-1)(n-2). . . (n-m+1)$

注：
常用于数值计算。

$P_n^m = \frac{n!}{(n-m)!}$

注：
常用于字母计算和证明。

全排列数:

$P_n^m = n!$

规定：
$0! = 1$

组合：

从n个不同的元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同的元素中取m个元素的组合。

组合数:

从n个不同的元素中取m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，记为$C_n^m$

$C_n^m = \frac{{P_n^m}}{m!}$

注：
常用于数值计算。

$C_n^m = \frac{n!}{m!(n-m)!}$

注：
常用于字母计算和证明。

重要性质：

规定：
$C_n^0 = 1$

$C_n^m = C_n^{n-m}$

$C_{n+1}^m = C_n^m + C_n^{m-1}$

二项式定理：

$(a+b)^n = C_n^0 a^n + C_n^1a^{n-1}b +C_n^2a^{n-2}b + . . . + C_n^ra^{n-r}b^r + . . . + C_n^nb^n \quad n \in R$
此公式所表示的定理叫 二项式定理

$C_n^0a^n + C_n^1a^{n-1} b + . . . + C_n^nb^n$ 叫做$(a+b)^n$的二项展开式

$C_n^0, C_n^1, . . . ,C_n^n$ 叫做二项式系数

通项公式：

$T_{r+1} = C_n^ra^{n-r}b^r \quad (r=0,1,2 . . . n)$
项数： n+1相
指数： 各项中的a的指数由n起依次减少1，直至0为止；b的指出从0起依次增加1，直至n为止。而每项中a与b的指数之和均等于n 。
二项式系数：
二项式的系数具有对称性，与两端等离的两项的二项式系数相等。

二项展开式的性质：

$C_n^m = \frac{n}{m}\cdot C_{n-1}^{m-1}$

$C_n^m = \frac{m+1}{n+1}\cdot C_{n+1}^{m+1}$

当 $n$ 为偶数时，则中间一项的系数最大；
当 $n$ 为奇数时，则中间两项的系数最大；

所有二项式系数之和为$2^n$，即：$C_n^0 + C_n^1 + . . . + C_n^n = 2^n$

各奇数项的二项式数之和等于各偶数项的二项式的系数之和

即：$C_n^0 + C_n^2 + C_n^4 + . . . = C_n^1 + C_n^3 + C_n^5 + . . . = 2^n$