甲、乙、丙三人生产一批玩具。甲生产的个数是乙、丙二人生产个数之和的 $\frac{1}{2}$；乙生产的个数是甲、丙两人生产个数之和的 $\frac{1}{3}$；丙生产了 50 个。这批玩具共有多少个？

题型： 份数法

1. 将条件转化为份数关系

甲 = $\frac{1}{2} \times \text{(乙 + 丙)}$

也就是：
$\text{甲} = \frac{1}{2}\text{(乙 + 丙)}$

两边同时乘 2：
$2\text{甲} = \text{乙 + 丙}$
所以：
甲 + 乙 + 丙 = 甲 + 2甲 = 3甲

即：总数是甲的 3 倍，甲占 1 份，乙+丙占 2 份。

乙 = $\frac{1}{3} \times \text{(甲 + 丙)}$

也就是：
$\text{乙} = \frac{1}{3}\text{(甲 + 丙)}$

两边同时乘 3：
$3\text{乙 = 甲 + 丙}$

所以：
$\text{甲 + 乙 + 丙} = \text{乙} + 3\text{乙} = 4\text{乙}$

即：总数是乙的 4 倍，乙占 1 份，甲+丙占 3 份。

2. 统一总份数

总数是 3甲 → 甲 = 总数的 $\frac{1}{3}$

总数是 4乙 → 乙 = 总数的 $\frac{1}{4}$

那么丙 = 总数 - 甲 - 乙

丙 = 总数 - $\frac{1}{3}$总数 - $\frac{1}{4}$总数

丙 = 总数 $\times \left(1 - \frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right)$

$1 - \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = 1 - \frac{4}{12} - \frac{3}{12} = 1 - \frac{7}{12} = \frac{5}{12}$

所以：丙 = 总数 $\times \frac{5}{12}$

3. 代入丙的个数

已知丙 = 50
总数 $\times \frac{5}{12} = 50$

总数 $= 50 \times \frac{12}{5} = 10 \times 12 = 120$

答案：
${120}$
这批玩具共有 120 个。