灌满一个水池，只打开 A 管要 8 小时，只打开 B 管要 10 小时，只打开 C 管要 15 小时。开始时只打开 A 管和 B 管，中途关掉 A、B 两管，然后打开 C 管，前后用了 10 小时 15 分钟，那么 C 管打开了多少时间？

题型：工程问题

1. 工作效率
A 管每小时灌满水池的 $\frac{1}{8}$
B 管每小时灌满水池的 $\frac{1}{10}$
C 管每小时灌满水池的 $\frac{1}{15}$

A 和 B 一起开，每小时灌满：
$\frac{1}{8} + \frac{1}{10} = \frac{5}{40} + \frac{4}{40} = \frac{9}{40}$

2. 设 C 管打开了 $t$ 小时
总时间 $10$ 小时 $15$ 分钟 = $10\frac14$ 小时 = $\frac{41}{4}$ 小时
所以 A 和 B 一起开的时间为 $\frac{41}{4} - t$ 小时。

3. 列方程
A 和 B 完成的工作量：$\frac{9}{40} \times \left( \frac{41}{4} - t \right)$
C 完成的工作量：$\frac{1}{15} \times t$
总工作量是 1 池：
$\frac{9}{40} \left( \frac{41}{4} - t \right) + \frac{t}{15} = 1$

4. 去分母
两边同时乘以 120（40 和 15 的最小公倍数）：
$120 \times \frac{9}{40} \left( \frac{41}{4} - t \right) + 120 \times \frac{t}{15} = 120$
$3 \times 9 \left( \frac{41}{4} - t \right) + 8t = 120$
$27 \left( \frac{41}{4} - t \right) + 8t = 120$

5. 展开
$\frac{27 \times 41}{4} - 27t + 8t = 120$
$\frac{1107}{4} - 19t = 120$

6. 移项
$\frac{1107}{4} - 120 = 19t$
$\frac{1107}{4} - \frac{480}{4} = 19t$
$\frac{627}{4} = 19t$
$t = \frac{627}{4 \times 19}$
$t = \frac{33}{4} = 8.25 \ \text{小时}$

答案： C 管打开了 $8$ 小时 $15$ 分钟。